1. Wprowadzenie do funkcji kwadratowej

Przed rozpoczęciem nauki o funkcji kwadratowej, warto dobrze zrozumieć samo pojęcie funkcji, a także pojęcia z nim związane, takie jak np. miejsca zerowe.
Przydatna będzie również umiejętność rozwiązywania równań kwadratowych.
Dokładne omówienie funkcji kwadratowej znajdziesz w rozdziałach poniższych.
W tym rozdziale pokażemy sobie jedynie kilka podstawowych cech funkcji kwadratowej.
Funkcją kwadratową nazywamy taką funkcję, we wzorze której:

  • musi wystąpić x2,
  • może wystąpić x,
  • może wystąpić liczba stała.

We wzorze każdej funkcji występuje wyrażenie x2, zatem są to funkcje kwadratowe.
Czasami wzór funkcji może być zapisany w taki sposób, że wyrażenie x2 nie będzie widoczne na pierwszy rzut oka. Po wymnożeniu nawiasów we wzorze pierwszej funkcji (oraz odpowiednio podniesieniu nawiasu do kwadratu we wzorze drugiej funkcji) otrzymamy już klasyczny wzór funkcji kwadratowej.

 

 

2. Wykres funkcji kwadratowej

 

Wzór ogólny funkcji kwadratowej jest postaci:  gdzie literki a, b oraz c są współczynnikami liczbowymi.
Wykres każdej funkcji kwadratowej jest nazywany parabolą.
Oto przykładowe wykresy:  
Obie funkcje, których wykresy widać na powyższym rysunku mają współczynniki b = 0 oraz c = 0.
Ramiona pierwszej paraboli skierowane są do góry, ponieważ jej współczynnik a jest dodatni (a = 1).
W sytuacji gdy a < 0, to ramiona paraboli skierowane są w dół (tak jak na drugim wykresie, gdzie a = -1).
Obie parabole na powyższym rysunku mają wierzchołek w punkcie (0, 0).
Pojęcie wierzchołka oraz ramion paraboli wyjaśnia poniższy rysunek:
Teraz omówimy własności przykładowej funkcji kwadratowej f(x) = x2 - 2x - 8 (wykres funkcji powyżej).
  • Dziedzina: D = R.
  • Zbiór wartości: ZW = ⟨-9; +∞).
  • Miejsca zerowe: funkcja ma dwa miejsca zerowe: x1 = -2 oraz x2 = 4.
  • Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy x∈(-∞; -2) ∪ (4 +∞).
  • Funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy x∈(-2; 4).
  • Punkt przecięcia z osią y-ów ma współrzędne: (0, -8).
  • Monotoniczność: funkcja jest niemonotoniczna (jest jedynie monotoniczna przedziałami).
  • Różnowartościowość: funkcja nie jest różnowartościowa.
  • Parzystość: funkcja nie jest parzysta.
  • Nieparzystość: funkcja nie jest nieparzysta.

Aby narysować dokładny wykres funkcji kwadratowej (z którego będzie można potem odczytać wszystkie jej własności) należy wcześniej ustalić:
  • W którą stronę skierowane są ramiona paraboli.
    Jeżeli a > 0 to do góry, a jeżeli a < 0 to do dołu.
  • Miejsca zerowe funkcji.
    W tym celu należy rozwiązać równanie: wzór funkcji = 0 Jest to równanie kwadratowe, które rozwiązujemy metodami opisanymi tutaj.
  • Wierzchołek paraboli:
  • Współrzędne wierzchołka paraboli W = (xw; yw) można obliczyć ze wzorów
  • Punkt przecięcia z osią y-ów.
    Punkt ten ma współrzędne: (0; f(0))

Jeżeli chcesz sprawdzić jak powinien wyglądać wykres dowolnej funkcji, to możesz skorzystać z programu do rysowania wykresów.
Rozwiązywanie wielu zadań z funkcji kwadratowej wymaga narysowania wykresu paraboli.
 

2. Zadania

Zadanie 1.

Dana jest parabola o równaniu y = x2 + 8x − 14. Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa
 

Zadanie 2.

Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest ⟨−2, +∞).
 
 

Zadanie 3.

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji y = x2 + 2x - 3. Wskaż ten rysunek.
 

Zadanie 4.

Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem f(x) = x2 - 4x + 4 jest punkt o współrzędnych
 

Zadanie 5.

Miejscem zerowym funkcji kwadratowej y = -(-x - 7)(1 + x) jest
 

Zadanie 6.

Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = -3x2 + 3 jest parabola o wierzchołku w punkcie
 

Zadanie 7.

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej y = -3(x - 7)(x + 2) są
 

Zadanie 8.

Liczby x1, x2 są rozwiązaniami równania 4(x + 2)(x - 6) = 0. Suma x12 + x22 jest równa
 

Zadanie 9.

Wykres funkcji kwadratowej f(x) = 3(x + 1)2 - 4 nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu
 

Zadanie 10.

Prosta o równaniu y = a ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej f(x) = -x2 + 6x - 10. Wynika stąd, że